1. Проблема площади: от многоугольников к пределам
Хотя площадь многоугольников можно найти путем разложения на треугольники, область $S$ с изогнутой границей требует другого подхода. Мы определяем Проблему площади как нахождение точной площади под непрерывной, неотрицательной функцией $y = f(x)$ на интервале $[a, b]$.
Разделите интервал $[a, b]$ на $n$ подинтервалов равной ширины $\Delta x = \frac{b-a}{n}$. Концы интервалов — это $x_0, x_1, \dots, x_n$.
Постройте $n$ прямоугольников. Используя правый конец оценку ($R_n$), высота $i$-го прямоугольника равна $f(x_i)$. Общая площадь составляет $A \approx \sum_{i=1}^n f(x_i) \Delta x$.
По мере увеличения $n$ погрешность (пропуски между прямоугольниками и кривой) исчезает. Точная площадь $A$ определяется как предел: $\displaystyle A = \lim_{n \to \infty} \sum_{i=1}^n f(x_i) \Delta x$.
2. Дуальность расстояния и скорости
Проблема расстояния задаётся вопрос: как далеко перемещается объект, если его скорость изменяется во времени? Если скорость постоянна, $distance = velocity \times time$. Если она меняется, мы рассматриваем её как «локально постоянную» на очень коротких временных интервалах $\Delta t$.
"Чем чаще мы измеряем скорость, тем точнее становятся наши оценки, поэтому вполне вероятно, что точное расстояние $d$, пройденное объектом, является пределом таких выражений."
Решённый пример: $y = x^2$ на $[0, 1]$ (Пример 1)
Для оценки площади под параболой $y = x^2$ от 0 до 1 с использованием $n=4$ и правых концов:
- $\Delta x = (1-0)/4 = 0.25$
- $R_4 = 0.25 [f(0.25) + f(0.5) + f(0.75) + f(1)]$
- $R_4 = 0.25 [0.0625 + 0.25 + 0.5625 + 1] = 0.46875$
Использование левых концов ($L_4$) дало бы $0.21875$. Истинная площадь находится «запертой» между этими границами: $0.21875 < A < 0.46875$.